线性代数

课程概况

线性代数是高等学校理、工、经管等多个专业的公共基础课，为现代社会各领域提供必备的数学工具。本课程以矩阵为主线，围绕矩阵的各种运算和矩阵间的等价、相似、合同关系展开论述，内容包括矩阵、行列式、n 维向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型。课程理论体现了数学归纳法、等价类、标准形、不变量、数形结合、数学建模等重要的数学思想。本课程不仅适合各类高校理、工、经管等多个专业的学生，也适合其他需要线性代数基础知识的学生、教师、工程技术人员和社会人员。

课程大纲

01
绪论
了解线性代数课程的主要内容、线性代数发展史、线性代数的应用、本课程的特点、学习方法和要求。
课时
0.1 线性代数课程绪论
02
矩阵
(1) 理解矩阵的概念，理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义。(2) 理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算。(3) 了解分块矩阵的运算性质，掌握常见的分块方法和分块矩阵的运算规则。(4) 理解矩阵的初等变换与初等矩阵的概念以及二者之间的联系，理解矩阵等价、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵以及矩阵等价标准形的概念，掌握将一个矩阵化为行阶梯形、行最简形以及等价标准形的方法。(5) 理解矩阵的可逆性的概念，掌握判别矩阵是否可逆的方法，掌握逆矩阵的性质，掌握利用初等变换求逆矩阵以及解简单的矩阵方程的方法。(6) 理解n阶行列式的定义，掌握行列式的性质，掌握低阶行列式及简单的高阶行列式的计算，了解行列式的乘法定理，了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算逆矩阵的方法，理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求解方程组的方法。(7) 理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系，掌握关于矩阵的秩的等式和不等式。
课时
1.1 矩阵的定义及例子
1.2 矩阵的加法及数乘
1.3 矩阵乘法的定义
1.4 矩阵乘法的性质
1.5 矩阵的转置
1.6 分块矩阵
1.7 矩阵的初等变换
1.8 初等矩阵
1.9 逆矩阵的定义及性质
1.10 逆矩阵的计算
1.11 求解矩阵方程
1.12 行列式的定义
1.13 行列式的性质
1.14 行列式按行(列)展开
1.15 行列式的计算
1.16 伴随阵与逆矩阵
1.17 抽象矩阵的可逆性
1.18 克拉默法则
1.19 矩阵秩的定义
1.20 矩阵秩的等式
1.21 矩阵秩的不等式
03
n维向量
(1) 理解向量的概念，掌握向量的线性运算的性质，理解线性组合和线性表示的概念。(2) 理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质，理解向量组的线性相关性的概念。(3) 掌握向量组的线性相关性的判别方法和一些常用的重要结论。(4) 理解向量组的极大线性无关组的概念，理解向量组的极大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的极大线性无关组。(5) 知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间的基及它们的维数，知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。(6) 理解向量的内积、长度及正交性的概念，了解向量内积的基本性质，理解向量空间的标准正交基的概念，熟练掌握Schimidt正交化方法，理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质。
课时
2.1 向量的概念
2.2 向量的线性组合和线性表示
2.3 向量组的秩
2.4 向量的线性相关性
2.5 线性相关性的等价刻画I
2.6 线性相关性的等价刻画II
2.7 向量组的极大无关组
2.8 向量空间、基、维数和坐标
2.9 基变换和坐标变换
2.10 内积
2.11 标准正交向量组和正交矩阵
04
线性方程组
(1) 理解线性方程组的基本概念，掌握Gauss消元法。(2) 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法。(3) 理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法。(4) 了解线性方程组的最佳近似解的概念和求最小二乘解的方法。
课时
3.1 线性方程组和Gauss消元法
3.2 齐次线性方程组有非零解的条件
3.3 齐次线性方程组的基础解系
3.4 非齐次线性方程组的解
3.5 非齐次线性方程组的解的结构
3.6 向量组极大无关组的计算
3.7 线性方程组的最小二乘解
05
矩阵的特征值和特征向量
(1) 理解相似矩阵的概念与性质。(2) 理解矩阵的特征值、特征向量的概念，理解特征多项式、特征值、特征向量的性质，熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的求法。(3) 熟练掌握矩阵相似于对角阵的充要条件，并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法。(4) 熟练掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法。
课时
4.1 相似矩阵的定义及性质
4.2 特征值(向量)的定义
4.3 特征值(向量)的求法
4.4 特征值的性质
4.5 相似于对角阵的条件
4.6 相似对角化与方阵的幂
4.7 实对称矩阵的相似对角化
4.8 已知特征值(向量)，求矩阵
06
二次型
(1) 理解二次型及其矩阵表示的概念，熟练掌握二次型的矩阵的求法。(2) 理解二次型的标准形与规范形的概念，理解合同的概念，掌握用配方法化二次型为标准形的方法，理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系，熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，理解惯性定理以及惯性指数的概念，掌握判断实对称矩阵合同的方法。(3) 理解正定性的概念，熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法。
课时
5.1 二次型的定义、矩阵表示及标准形
5.2 用正交变换化二次型为标准形
5.3 用配方法化二次型为标准形
5.4 矩阵的合同与惯性定理
5.5 正定二次型定义及判定