课程概况
诺贝尔奖获得者，计算物理学家威尔逊提出了现代科学研究的三大支柱：理论研究，科学实验和科学计算。如果说伽利略和牛顿在科学发展史上奠定了实验和理论这两大科学支柱，那么由冯.诺依曼研制的电子计算机就使科学计算成为现代科学研究的另一支柱。如今，科学计算在生命科学、医学、系统科学、经济学等现代科学中起的作用日益凸显，已经成为气象、石油勘探、核能技术、航空航天、交通运输、机械制造、水利建筑等重要工程领域中不可缺少的工具。数值分析应运而生，它是研究使用计算机求解各种数学问题的方法、理论及其软件实现的一个数学分支，是科学工程计算的重要理论支撑。它既有纯粹数学的高度抽象性和严密科学性，又有着具体应用的广泛性和实际实验的技术性，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程。
非线性方程求根、线性方程组的求解、数据的插值与拟合、数值积分和微分以及微分方程数值解法，这些内容构成了数值分析课程的主体。通讯卫星覆盖地球面积的估算，天体力学中开普勒方程的近似求解，生物信息学中蛋白质结构比对和预测问题，大量实际问题的解决离不开数值分析做出的贡献。在信息技术迅猛发展的“互联网+”时代，数值分析的学习将带你打开眼界，进入一片崭新的天地！
本课程中需要应用高等数学、线性代数等先修课程的知识，而该课程的研究结果既能直接应用于一些工程实际问题，也是学习偏微分方程数值解法等后续课程和从事专业技术工作必需的基础。着重培养学生应用基本理论以及解决实际工程问题并进行分析与计算的能力。
课程大纲
01
绪论
了解数值分析研究的对象和内容；掌握描述误差的几个概念；掌握数值计算中的五条原则。
课时
1.1 数值分析的研究对象和内容
1.2误差的来源和分类
1.3有效数字
1.4数值计算中的若干原则1
1.5数值计算中的若干原则2
1.6数值计算中的若干原则3
02
解线性方程组的直接方法
学会用Gauss消去法和三角分解法求解线性方程组，并了解各种方法的适用条件；掌握向量和矩阵的范数定义；会求条件数且会分析线性方程组的固有性态.
课时
2.1顺序Gauss消去法1
2.2顺序Gauss消去法2
2.3列主元Gauss消去法
2.4Gauss消去法的矩阵运算
2.5直接三角分解法
2.6直接三角分解法举例
2.7平方根法
2.8追赶法
2.9向量的范数及常用的向量范数
2.10范数的等价性
2.11矩阵的范数及常用的矩阵范数
2.12谱半径的定义及计算
2.13线性方程组的固有性态
2.14条件数的定义及计算
2.15事后误差估计和迭代改善
03
解线性方程组的迭代法
会构造三种迭代方法求解线性方程组，并能利用迭代矩阵的谱半径和范数去分析迭代法的收敛性和误差估计；并能根据线性方程组的系数矩阵分析迭代法的收敛性.
课时
3.1 迭代法的基本思想
3.2 Jacobi和Gauss-Seidel迭代法
3.3 逐次超松弛迭代法-SOR方法
3.4 迭代法的收敛性
3.5 迭代法收敛的充分条件及误差分析
3.6 特殊方程组迭代法的收敛性研究
04
非线性方程求根
能够利用二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法极其变形求解非线性方程；并且会分析以上各种方法的收敛性和误差估计.
课时
4.1非线性方程简介
4.2二分法（1）
4.3二分法（2）
4.4简单迭代法的构造
4.5收敛性分析的几何解释
4.6收敛性条件的证明
4.7局部收敛性
4.8收敛阶的定义
4.9p阶收敛的迭代法
4.10加速的迭代法
4.11牛顿迭代法（1）
4.12.牛顿迭代法（2）
4.13牛顿下山法
4.14牛顿迭代法的变形
4.15求重根的牛顿迭代法
05
插值与逼近
了解插值和逼近的区别和联系，并学会构造Lagrange、Newton、Hermite插值多项式，并能推导其插值余项；学会用分段插值去避免高次插值多项式的数值不稳定性；了解三次样条插值；掌握数据拟合的最小二乘法.
课时
5.1 插值问题的由来
5.2 Lagrange插值多项式
5.3 Lagrange插值余项
5.4 差商的定义与性质
5.5 Newton插值多项式及其余项
5.6 分段Lagrange插值多项式
5.7 分段Hermite插值多项式
5.8 三次样条插值的应用背景及定义
5.9 三次样条插值的求法（1）
5.10 三次样条插值的求法（2）
5.11 数据拟合的最小二乘法的由来
5.12 数据拟合的最小二乘法的实例分析
06
数值积分与数值微分
学会构造插值型求积公式、复化求积公式；并能利用求积公式的代数精度进行误差估计；了解Romberg求积公式；利用正交多项式构造Gauss型求积公式；并了解差商型和插值型数值微分公式及其误差估计.
课时
6.1 数值积分的基本概念
6.2 求积公式的代数精度
6.3 插值型数值求积公式
6.4 Newton-Cotes 求积公式
6.5 复化求积公式
6.6 复化求积公式的应用
6.7 Romberg 求积公式
6.8 正交多项式
6.9 几个常用的正交多项式系
6.10 Gauss 型求积公式的一般理论
6.11 几种Gauss 型求积公式
6.12 差商型数值微分
6.13 插值型数值微分
07
常微分方程数值解法
学会构造Euler方法、梯形方法、改进的Euler方法以及Runge-Kutta方法求解常微分方程初值问题；并能分析差分公式的局部截断误差；会分析单步方法的收敛性和稳定性；并且掌握线性多步差分方法及其局部阶段误差。
课时
7.1 一阶常微分方程初值问题的基本概念
7.2 构造数值解法的基本思想
7.3 改进的Euler方法
7.4 差分公式的局部截断误差分析
7.5 构造单步高阶方法的思路
7.6 Runge-Kutta方法
7.7 Runge-Kutta方法(续)
7.8 单步方法的收敛性
7.9 单步方法的收敛性(续)
7.10 单步方法的稳定性
7.11 单步方法的稳定性(续)
7.12 线性多步方法
7.13 线性多步方法(续)
预备知识
高等数学、线性代数
参考资料
教材：
数值分析，张铁，阎家斌，冶金工业出版社，2007年
参考资料：
数值分析（上、下）, 黄明游，冯果忱, 高等教育出版社，2010年
应用数值分析（改编版）（第7版）：[美] 杰拉尔德（Gerald G.F.） 著；白峰杉 编，高等教育出版社，2010
数值方法的设计、分析和算法实现：[美] 安妮·戈林鲍姆，[美] 蒂莫西 P.夏蒂埃 著；吴兆金，王国英，范红军 译，机械工业出版社
