课程概况
Данный курс поможет обучающимся преодолеть трудности, вызванные недостаточным знанием математики и использовать свои знания для решения физических задач. Он поможет создать базу для успешного освоения дисциплин, в которых необходимы знания основ дифференциального и интегрального исчисления. Без этих навыков невозможна успешная деятельность инженеров и специалистов любого профиля.
Физические явления и законы так или иначе описываются математическими формулами. Важнейшие открытия и изобретения в мире не обходятся без математики. Для решения широкого круга задач необходимо использовать математический аппарат, связанный с дифференциальным и интегральным исчислением функций одной вещественной переменной.
Освоив этот курс, вы сможете применять свои знания не только в физике для расчета, например, траекторий движения космических ракет и спутников, для прогнозирования работы ядерных реакторов, но и в геологии, биологии, экономике и др. для прогнозирования различных динамических процессов.
Курс включает в себя тесты и набор заданий, формирующий основные навыки, которыми несколько облегчат изучение общей физики, так как позволят сконцентрироваться на физической сути явлений.
Освоившие курс учащиеся смогут решать следующие физические задачи:
• находить кинематические характеристики движения тел;
• исследовать характер движения тел при заданном законе движения;
• определять качественное поведение рассматриваемых физических величин в предельных случаях;
• определять действующие на тело силы при заданном законе движения и т. п.
Также прошедшие обучение смогут:
• строить уравнение касательной к графику функции в заданной точке;
• находить среднее значение функции на заданном отрезке;
• находить площади фигур, ограниченных заданными кривыми.
Для успешного освоения курса слушателю желательно знать основы математики и физики в объеме школьной программы.
课程大纲
Производная функции
В первом модуле вводятся понятия производной функции. На простых примерах приводится мотивировка введения производной. Объясняется необходимость понятия предела функции в точке для формализации производной.
Предел функции одной вещественной переменной
В этом модуле вводится понятие предела функций одной вещественной переменной. Рассматриваются различные варианты: предел в точке существует; существует односторонний предел; существуют оба односторонних предела, но они не равны между собой; функция стремится к бесконечности. Кратко объясняется суть строгого подхода к определению предела функции в точке.
Определение производной. Дифференциал
В этом модуле даётся строгое определение производной функции, определение дифференцируемости функции в точке и дифференциала. Отдельно обсуждаются случаи, когда производная функции в точке не существует. Приводится пример функции, непрерывной в каждой точке, но не имеющей ни в одной точке производной. Приводятся правила дифференцирования функций. Проводится несколько вычислений производной по определению. Демонстрируется геометрический смысл производной.
Физический смысл производной
В этом модуле демонстрируются физические приложения производной на примерах конкретных задач. А именно рассматривается определение скорости и ускорения материальной точки; описание движения материальной точки по окружности; решение обратной задачи динамики; вычисление силы электрического тока, связанного с заданным перемещением зарядов.
Формула Тейлора
В этом модуле обсуждается формула Тейлора. Приводятся наводящие соображения к формуле Тейлора, демонстрируется её геометрическая интерпретация на примере разложений основных элементарных функций. Приводятся наиболее часто используемые в приложениях разложения функций.
Применение формулы Тейлора в физике
Обсуждается применение формулы Тейлора в физических приложениях. На примере формул специальной теории относительности демонстрируется, как можно использовать формулу Тейлора для анализа формул в предельных случаях. На примере задачи о колебаниях математического маятника показано, как можно упростить задачу, проводя разложение возникающих в задаче функций по формуле Тейлора. Приводится также анализ точного решения задачи о колебаниях математического маятника.
Интеграл. Приложения интеграла
В этом модуле вводятся понятия первообразной и интеграла. Подчёркивается важность указания произвольной константы интегрирования при вычислении неопределённого интеграла. Обсуждается процедура построения определённого интеграла, вводится формула Ньютона-Лейбница. Объясняется геометрический смысл определённого интеграла.
Вычисление некоторых неопределенных интегралов. Гамма-функция
В этом модуле обсуждаются простейшие методики вычисления интегралов с примерами: метод замены переменной (показаны наиболее часто встречающиеся подстановки), метод интегрирования по частям; некоторые вспомогательные приёмы, связанные со свойствами подынтегральных функций. Также вводится гамма-функция, обсуждается одно из основных её свойств, приводящее к обобщению факториала.
